Corrigé n°5 - Modéliser le fonctionnement d'une pile 2

Q1. On souhaite préparer un volume précis d'une solution de concentration imposée, à partir d'un solide : il s'agit de décrire un protocole de dissolution. Pour cela, on utilisera de la verrerie de précision (fiole jaugée de 50 mL et balance précise au moins au centième de gramme). Il faut alors déterminer la masse `m` de solide à peser.

On note `n` et `M` la quantité de matière et la masse molaire de sulfate d'aluminium respectivement, ainsi que `C` et `V` la concentration en quantité de matière et le volume de solution S respectivement.

`m=n\timesM=(C\timesV)\timesM`

`m=0,100" mol"cdot"L"^{-1}\times(50\times10^{-3})" L"\times342,15" g"cdot"mol"^{-1}`

\(m=1,71\;\mathrm{g}\)

On pèse précisément 1,71 g de sulfate d'aluminium à l'aide d'une balance, puis on introduit la poudre dans une fiole jaugée de 50 mL. On remplit la fiole au deux tiers environ et on homogénéise pour dissoudre le solide (sans retourner la fiole). On complète ensuite jusqu'au trait de jauge.

Q2. L'équation de dissolution s'écrit :

`"Al"_2"(SO"_4")"_3"(s)"\rightarrow2"Al"^{3+}"(aq)"+3"SO"_4^{2-}"(aq)"`

Ainsi : 

• `["Al"^{3+}]=2\timesC=0,200" mol"cdot"L"^{-1}`
  
• `["SO"_4^{2-}]=3\timesC=0,300" mol"cdot"L"^{-1}`
  

Q3. La tension mesurée est positive avec la borne COM reliée à la plaque d'aluminium : la borne COM est donc liée au pôle négatif de la pile (aluminium) et la plaque de cuivre en constitue le pôle positif.

Q4. Au pôle négatif, il y a génération d'électrons vers le circuit extérieur. Donc, dans le pont salin, les anions doivent se déplacer vers cette demi-pile pour préserver l'électroneutralité de la solution.  Au pôle négatif, c'est l'inverse.

Q5. Au pôle négatif (électrode d'aluminium), il y a génération d'électrons : il s'agit donc de l'anode, siège d'une oxydation.

Demi-équation mise en jeu : `"Al(s)"="Al"^{3+}"(aq)"+3"e"^-`

Au pôle positif, c'est l'inverse : il s'agit de la cathode, siège d'une réduction.

Demi-équation mise en jeu : `"Cu"^{2+}"(aq)"+2"e"^{-}="Cu(s)"`

Il faut combiner ces deux demi-équations de manière à ce que le nombre d'électrons produits par la seconde soit égale au nombre d'électrons consommés par la seconde. On multiplie donc la première par 2 et la seconde par 3 et on obtient : 

`2"Al(s)"+3"Cu"^{2+}"(aq)"\rightarrow2"Al"^{3+}"(aq)"+3"Cu(s)"`

Q6. Exprimons le quotient de réaction associé à cette équation :

\(Q_\text{r}=\frac{(a_\mathrm{A\ell^{3+}(aq)})^{2}\times(a_\mathrm{Cu(s)})^3}{(a_\mathrm{Cu^{2+}(aq)})^{3}\times(a_\mathrm{A\ell(s)})^{2}}= \frac{\mathrm{[A\ell^{3+}(aq)]}^2\times{c°}}{\mathrm{[Cu^{2+}(aq)]}^3}\).

Pour déterminer la valeur de ce quotient à l'état initial, on remplace par les concentrations trouvées à la question 2. On rappelle que `c°=1" mol"cdot"L"^{-1}`, d'où :

`Q_"r,i"=\frac{(0,200" mol"cdot"L"^{-1})^2\times(1" mol"cdot"L"^{-1})}{(0,100" mol"cdot"L"^{-1})^3}=40`

La valeur initiale du quotient de réaction est très inférieure à la constante d'équilibre \(K\) : le système va évoluer spontanément dans le sens direct (consommation de l'aluminium solide).

Q7.1.  Pour déterminer le réactif limitant, on compare les quantités de matière des réactifs.

• `n_{"Cu"^{2+}}=C\timesV=0,100" mol"cdot"L"^{-1}\times(50\times10^{-3})" L"=5\times10^{-3}" mol"`
  
• `n_"Al"=\frac{m_"Al"}{M_"Al"}=\frac{19,2" g"}{27" g"cdot"mol"^{-1}}=0,71" mol"`
  

On a alors très largement `\frac{n_{"Cu"^{2+}}}{3}<\frac{n_{"Al"}}{2}`: les ions cuivre II sont le réactif limitant.

Q7.2. La capacité `Q` de la pile se déduit de la quantité d'électrons qu'elle peut échanger, elle même liée à la quantité de réactif limitant par la demi-équation électronique :

`Q = n_{"e"^-}\timesN_"A"\times"e"= 2\timesn_{"Cu"^{2+}}\timesN_"A"\times"e"`

`Q = 2\times5\times10^{-3}" mol"\times6,022\times10^{23}" mol"^{-1}\times1,602\times10^{-19}" C"=965" C"`

Une pile commerciale a une capacité de l'ordre de 2800 mAh, ce qui correspond à :

`Q_"pile"=2800" mAh"\times3,60" C"cdot"mAh"^{-1}=10,1\times10^3" C"`

La pile de laboratoire possède une capacité bien inférieure à une pile commerciale.

Q8.  Pour augmenter la capacité électrique de la pile, on peut, par exemple, augmenter la quantité de réactif limitant : soit en augmentant la concentration en ions cuivre (II), soit en augmentant le volume de cette demi-pile.